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第725章 追不上的乌龟（第2页）

在此之前，李恒和阿基里斯讨论的一切都在标准分析规定的实数范围内。

实数域是最大的阿基米德有序域，具备阿基米德性质。

在数轴上截取任意小的一段a，以及任意大的一段b，总能找到一个自然数n，使n条线段a的长度相加大于线段b。

实数域的定义域是（-∞，+∞），它表明实数轴的两端无限延伸，是一个潜无限的区间。

在实数域中，并不包括实无穷大和实无穷小。

非标准分析则是实数域R的扩展，引入了无穷小数和无穷大数。

在非标准分析定义的数轴上，可以截取出一段长度为实无穷小的线段。

这条线段的长度小于所有实数，因而也就不再具备阿基米德性质。

标准分析中的实数是Realnumber。

非标准分析定义的数集被称为超实数集，Hyperrealnumber。

这是一个比实数集更大的集合，将实数作为它的子集。

李恒伸手从阿基里斯的头上摘下那个完美的圆环，毫不费力地就把这个容纳着不可数无限力量的圆扯断、拉直，做成了一条散发着白光的数轴。

这一幕看得阿基里斯心中一跳，原来这玩意就是用她之前见过的那条数轴做出来的。

不，现在的话，应该把这条数轴称作是实数轴更合适。

她所在的这个世界显然并不仅仅局限于标准分析定义的实数集的范围。

即使是数量达到N1的全体实数，依旧无法构成一条完美无缺，没有空隙的数轴。

“回顾我们之前对芝诺悖论的解决方式。”

“长跑健将阿基里斯从数轴上的0点位置出发，第一步走出0。9，第二步走出0。09，如此无限累加，最终走出了无限步。”

“在经过无限次迈步之后，她从0走到了1，追上了芝诺那只恼人的乌龟。”

“0。999……=1，两者是标准分析中定义的同一个实数的不同写法。”

“但是，如果并不局限于实数域的范围，将这条数轴上分布的数扩大到超实数域……”

说到此处，李恒的目光投向阿基里斯肩膀上贴着的便签。

在“一一对应、基数”，“有序排列、序数”，“排中律”三张纸条以外，还有最后才贴上去的一张纸条。

“戴德金分割？”

阿基里斯顺着他的目光歪了歪头，看着自己肩膀上的这张纸条若有所思。

原来如此。

写着排中律的纸条对应的是第三次数学危机后诞生的哥德尔不完备定理和停机问题，以及超图灵机的力量层级。

从有限到可数无限，再到不可知不可论的不可数无限。

但这一切都局限于实数的范围以内。

第四张便签上的内容才是他们研究连续统需要面对的最后一个问题。

所有的实数真的构成了一条无缝的数轴吗？

对有限的凡人而言，这个问题不会有什么可验证的结果。

如果全体实数依旧无法填满数轴，那就表明连续统的基数比不可数无限N1还要大。

但实数集就已经是不可知不可论的存在，更别说是比它还大的集合。

“戴德金分割……”

阿基里斯对着面前白色的数轴比划着自己的手掌，做出一个像是切蛋糕的手势。

所谓戴德金分割，是用有理数作为刀刃去切割一条连续无缝的实直线，把实数集切割成左右两个互斥的集合。

当切割出的左集中没有最大元素，右集中也没有最小元素，那就代表砍中了数轴上有理数之间的空隙。