墨澜小说

第717章 可数无穷不可数无穷（第2页）

她现在终于有些理解李恒所谓的吃东西是什么意思了。

“知识就是食物，原来是这样的感觉。”

红枣里面装着的信息是伽利略对于无穷的理解，使用的方法正是人类对数的认知的源头，最基本的一一对应思想。

利用一一对应的方法，即使没有办法确切的数完集合中的每一个元素，也能比较不同集合元素的数量。

这一点就像是在舞会上一一配对跳舞的男性和女性，每个人都已经找到了自己的舞伴。

虽然参加舞会的人数可能有一百亿甚至是无穷多，但只要知道每个人都已经有了自己对应的舞伴，没有孤零零留在一边的落单者，那就说明参加舞会的男女数量是一样多的。

伽利略用一一对应的方法操作的是自然数和完全平方数：

1→1，2→4，3→9，4→16，……n→n^2……

在直观上看来，全体完全平方数显然是自然数的一个真子集。

但通过在自然数和完全平方数之间建立一一对应，伽利略发现自然数和完全平方数的数量是一样多的。

这种矛盾之处完全违背了欧几里得的公理“整体总是大于部分”，也是有限的人类认为他们无法处理无限的重要理由之一。

既然存在明显的矛盾之处，那么实无穷显然是不存在的。

根本没有一个已经完成的“全体自然数”集合，只有无限延伸、永远数不到尽头的自然数。

“问题在于，无穷的这种性质是否真的有矛盾之处？”

“如果说过去人类还可以用潜无穷的思想把∞抛在一边，但随着微积分和实数理论的建立，一个描述实无限的理论已经迫在眉睫。”

“每一个无理数都是一个已完成的无穷序列，如果没有实无穷，那就没有无理数，微积分的理论基础也就完全消失了。”

李恒再次伸手从枣树上摘下一颗枣子，这一次他直接塞到自己的嘴里吃了下去。

“康托尔不认为这种性质是有矛盾的，虽然它违反了人类一直以来的直觉，但却并不违背逻辑。”

“所谓的矛盾，只不过是人类将处理有限数的方法推广到了无限之上，这就像用牛顿的运动定律去处理接近光速的高速物体一样。”

“在他看来，对于数学来说，只要一个理论是一致且相容的，没有自相矛盾之处，那它就是可以被接受的，除此之外没有其他多余的标准。”

“因此，康托尔将部分与整体一样大、集合的真子集与自身一样大作为无穷集合的基本性质。”

“有了一一对应的方法，那么很容易就能得到以下结论：奇数、偶数、素数、整数，这些数构成的集合都能与全体自然数形成一一对应。”

“它们的数量都是一样的，有着同样的基数。”

“整数和自然数的基本特征就是可以一个接着一个地列出来，知道了前一个数就能写出后一个数，康托尔将这种性质称为【可数性】。”

“于是，具有和全体自然数集合相同基数的无穷大就被称为【可数无穷】。”

“这就是第一个超穷基数N0”

“其他无穷集合的基数可以通过这个基准的基数来计算，也就是把它们与N0比较，看看它们是否能和自然数建立一一对应。”

对无穷集合，绝不可能真正完成配对的过程。

只要能建立一个一一对应的操作程序，使得对第1个，n个，和（n+1）个成立，就可以通过数学归纳法证明，这种对应对两个集合从头到尾都成立。

有了作为基准的可数无穷，接下来的难题就是对于有理数的处理。

有理数看起来处处稠密，在直觉上根本无法像是自然数和整数一样一一列举出来。

但无理数的存在表明有理数并不连续，依旧是离散的。

既然如此，那么有理数或许也能用某种方式像是自然数一样一一列出，基数同样是可数无穷。

“想要证明这一点，需要用一种方法将有理数排列成类似自然数的形式，这种方法被称为集合的可数化。”