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第715章 无穷小的幽灵（第3页）

“虽然它们在计算光滑图形的面积上很有效，但它们的理论基础却并不坚固，如同一座空中楼阁。”

李恒抬手从眼前划过，看着手掌的轨迹道：

“点动成线，在欧几里得的定义中，他将点称作是没有部分的东西。”

“一个没有大小的东西，这个东西的长度自然就是0。”

“但点动成线，无穷个点的组合却变成了有着某个具体且有限的长度的线。”

“古希腊人最讨厌的0和∞又在这里出现了，这种定义就和0×∞得出某个有限大小的数是一样的。”

“在早期的微积分中，就充斥着这种麻烦的问题，本质上是微积分没有能力处理无穷，无论是无穷大还是无穷小。”

“嗯，咱们边走边说。”

李恒拉着阿基里斯的手迈步向着街道对面走去。

这个白发女孩下意识地低头看向两人交叠在一起的手掌，回忆起最初地球上的那条街道。

还是一样的触感，但随着她一点一点理解了“运动”、“触碰”的难度，她对于人与人之间的接触也有了与之前完全不一样的理解。

“我见到的只是我眼中的他，我触碰到的手掌也只是我脑海中认知的感受。”

“人在这个世界上所能感受到的其他人与物，其实都只是自己脑海中的信息。”

“这大概就是所谓的心外无物，人终其一生所能感受到的仅有自己。”

从这恍惚间的思考中回过神来，阿基里斯收回视线，抬头看向面前出现的东西。

那是一幅二维平面直角坐标系，此刻漂浮在两人的面前，一条弯弯曲曲的曲线从原点出发，随着两人的步伐慢慢地向前移动。

“这是笛卡尔发明的坐标系，是解析几何的基础。它可以用来表示变量之间的关系，直观的看到函数的图像，将抽象的代数与直观的几何联系在一起。”

“这张坐标系上，横轴是时间t，纵轴是距离S。”

“从牛顿和莱布尼茨的微积分，到正式严谨的现代微积分，中间有很多复杂的东西可讨论。”

“不过这里不是高数课的课堂，所以用不着去学着计算那些麻烦的定积分、不定积分、常微分方程、偏微分方程。”

“现在要讨论的只是微积分和第二次数学危机的有关问题，这个问题与你的名字紧密相关。”

“从某种意义上来说，芝诺的思想其实太过超前。”

“正是他关于静止与运动、离散与连续的悖论中所涉及到的东西——无穷小量，引起了第二次数学危机。”

芝诺悖论和无穷小量。

阿基里斯低头看向自己胸前的粉白色螺旋状钥匙，望着那个在这无穷小的世界里仍旧看不到具体大小的尖端，她明白了过来。

0。99……，这是一个无穷级数。

想要让0。99……=1，就需要迈出最后的那一步，也就是加上一个大小为9∞的数值。

无法处理的恼人的无穷又在这里出现了。

不仅仅是无穷小，还有那个让阿基里斯真正追上乌龟的最后一步的问题。

以有限的凡人的思想，这个无穷序列根本就没有所谓的最后一步。

就像是台灯悖论，一个台灯经过无限次开关后的状态是什么？

用数字表示，就是1-1+1-1……的无穷级数求和。

如果根据（1-1）+（1-1）……来计算，那么这个级数的和等于0。

如果根据1+（-1+1）+（-1+1）……，那么这个级数的和就等于1。

两种计算在数学上都是正当的，这个级数的和似乎既为1又不为1，但这是不可能的。